- 一様分布からの標本の平均値の分布
-
(0,1)一様分布が有名で，一様乱数（一様分布する
確率変数の実現値）を生成する機能がパソコンに組み込まれている．
一様分布からの標本の大きさを増やしていくと，標本平均の分布は正規分布
に近づく（中心極限定理）
(0,1)一様分布からの大きさ n 標本の標本平均の１万回試行シミュレーション分布．
n = 12 では正規分布を上書き
3-6. データへの正規分布の当てはめ
データの標本平均と標本分散（標準偏差）を正規分布の平均と分散（標準偏差）とみなす．
データの当てはまり具合は，累積分布で比較する
→ コルモゴルフ・スミルノフ（Kolmogorov - Smirnov）検定
正規 Q-Q プロットを用いるとさらによくわかる．
3-7. 正規分布に基づく母数の区間推定
- 分散既知の場合の母平均 μ の区間推定
-
正規分布する母集団で分散がわかっている場合は，未知の平均に関する区間推定ができる．
いま，正規分布 N( μ，σ2 ) において，大きさ n の標本を
抽出したとき，標本平均 x- は，
x- ～ N( μ，σ2/n ) →
z ＝ √n(x- － μ )/σ ～ N(0, 1)
と分布する．標準正規分布の 97.5％分位点は 1.96 であるので，
標準正規分布する確率変数 z が -1.96 から 1.96 に入る確率は 0.95 となる．つまり，
Pr[ － 1.96 ＜ z ＜ 1.96 ] ＝ 0.95，
Pr[ － 1.96 ＜ √n(x-
－ μ )/σ ＜ 1.96 ] ＝ 0.95，
Pr[ - 1.96×σ/ √n ＜ x- － μ ＜ 1.96×σ/ √n ] ＝ 0.95，
Pr[ - 1.96×σ/ √n ＜ μ － x-＜ 1.96×σ/ √n ] ＝ 0.95，
Pr[ x- － 1.96×σ/ √n ＜ μ
＜ x- ＋ 1.96×σ/ √n ] ＝ 0.95，
となる．最後の式を母集団平均 μ の 95％ 信頼区間と言う．
このように，母数の信頼区間を標本から推定することを区間推定という．
- 例題４
-
過去の経験から分散が 9 であることがわかっている正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出
したところ，標本平均が 1.5 であった．標準正規分布の 97.5％ 分位点を 1.96
として，母平均 μ の 95％ 信頼区間を求めよ．
- 解答：
-
σ＝√9＝3，√n＝√16＝4，より，1.96×σ/ √n＝1.96×3/4＝1.47
よって，1.5 ± 1.47，つまり， 0.03 ＜ μ ＜ 2.97 が母平均 μ の 95％ 信頼区間
となる．
- 95％ の意味
-
同じ正規母集団から標本抽出を繰り返すと，毎回標本平均として異なる値がえられ，それに
対応して信頼区間も異なる．この信頼区間の 95％ が真の平均 μ を含む，という意味である．
つまり，100回の標本抽出により，100 個の信頼区間を作ったら平均的にみて，95 個の信頼区間が
真の平均 μ を含むことが期待できる．
下の図は，平均 0 分散 2 の正規分布 N( 0, 2 ) から大きさ 10 の標本を取りだし，分散が既知であるとして，
母平均に対する信頼区間を 100 個生成したものである．"×" が標本平均を示す．左の "*" は，信頼区間
が母平均の真値 0 を含まなかった場合である．
3-8. 正規分布から派生する分布
- 3-8-1. χ2分布
-
標準正規分布する確率変数の 2 乗は自由度(df: degree of freedom)
1 の χ2 分布
（χ2(1) ）に従う．
互いに独立に標準正規分布する確率変数の 2 乗の n 個の和は，
自由度 n の χ2 分布
（χ2(n)）に従う．
[(標準正規分布データ)2の n 個の和] ～
χ2(n)
zi ～ N(0, 1) →
zi2 ～
χ2(1) →
z12＋ … ＋
zn2 ～
χ2(n)
xi ～
N( μi，
σi2 ) →
(xi －
μi)/σi
～ N(0, 1)
→
(x1 －
μ1)2 /
σ12
＋ … ＋ (xn －
μn)2 /
σn2 ～
χ2(n)
自由度 n の χ2 分布の平均と分散はそれぞれ n，2n である．
- 標本分散の分布
-
xi を正規分布
N( μ，σ2 ) からの大きさ n の標本とする．
標本平均を
x- ＝
(x1 ＋ … ＋
xn )/n ＝
(∑i
xi )/n，
標本分散を
s2 ＝
{ (x1 － x-
)2 ＋ … ＋
(xn － x-
)2 }/(n － 1) ＝
{∑i
(xi － x-
)2 }/(n － 1)
，
とすると，
∑i
(xi － μ
)2 ＝
∑i
(xi －
x- ＋ x- －
μ )2 ＝
∑i
(xi －
x- )2 ＋
n(x- － μ )2
と変形できる．一方，
xi ～
N( μ，σ2 ) →
(xi －
μ )/σ ～ N(0, 1) →
∑i
(xi － μ )2 /
σ2 ～
χ2(n)
x- ～ N( μ，σ2/n ) →
√n(x- － μ )/σ ～ N(0, 1) →
n(x- － μ )2/
σ2 ～ χ2(1)
であるので，
(n － 1)s2 /σ2
＝ ∑i
(xi －
x- )2/
σ2 ＝
∑i
(xi － μ )2/
σ2 －
n(x- － μ )2/
σ2
～ χ2(n) － χ2(1)
＝ χ2(n－1)
つまり，標本分散を自由度(n － 1)倍したものを，母集団分散（母分散）
で割ったもの，
(n － 1)s2
/σ2，
は，自由度 n － 1 の χ2 分布に従うことがわかる．
- 標本分散の不偏性
-
自由度 n － 1 の χ2 分布の平均は n － 1 なので，
(n － 1)s2
/σ2の平均は n － 1，つまり，
E[ (n － 1)s2
/σ2 ] ＝
(n － 1) E[ s2 ]
/σ2 ＝
n － 1
E[ s2 ]
/σ2 ＝ 1 →
E[ s2 ] ＝ σ2
が成り立つ．これは，標本分散 s2 の期待値（平均）が
母分散 σ2 になることを示す．
正規母集団（正規分布する母集団）から標本抽出を繰り返して，標本分散を求めると，その平均が
真の値 σ2 になることを示す．これを不偏性という．
標本分散 s2 は，
母分散 σ2 の不偏推定値であることがわかる．
つまり，母分散の推定値として，偏差平方和 ∑i
(xi －
x- )2 を標本の大きさ n ではなく，
n － 1 で割って，s2 ＝
{∑i
(xi － x-
)2 }/(n － 1)
とするのは，母分散の不偏推定値をえるためである．このため，標本分散をとくに不偏分散と
呼ぶこともある．
- 母分散 σ2 の区間推定
-
正規母集団 N( μ，σ2 ) から大きさ n の
標本を取り出したとき，標本分散 s2 は，
(n － 1)s2 /σ2
～ χ2(n－1)
と分布する．自由度 n － 1 の χ2 分布の 2.5％分位点を
χ1，97.5％分位点を
χ2，とすると，
Pr[ χ1 ＜
(n － 1)s2 /σ2
＜ χ2 ] ＝ 0.95，
Pr[ 1/χ1 ＞
σ2 /
(n － 1)s2
＞ 1/χ2 ] ＝ 0.95，
Pr[ (n － 1)s2
/χ1 ＞
σ2
＞ (n － 1)s2
/χ2 ] ＝ 0.95，
となる．最後の式を母集団分散
σ2 の 95％ 信頼区間と言う．
- 例題５
-
正規母集団から大きさ 10 の標本を取りだしたところ，標本分散（不偏分散）は 3 であった．
母分散 σ2 の 95％ 信頼区間を求めよ．
ただし，自由度 9 の χ2 分布の 2.5％分位点は
2.7，97.5％分位点は19.0である．
- 解答
-
(n － 1)s2
/χ1 ＝ 9×3/2.7 ＝ 10，
(n － 1)s2
/χ2 ＝ 9×3/19 ＝ 1.42，であるので，求める区間は，
1.42 ＜ σ2 ＜10，である．
- 3-8-2. t 分布
-
標準正規分布に従う確率変数を z，(z ～ N(0,1))，
自由度 n の χ2 分布に従う
確率変数を V，(V ～ χ2(n))，
とし，両者が独立であるとすると，その比 t は，自由度 n の t 分布，t(n)，に従う．
t ＝ z /√(V /n) ～ t(n)
- 分散未知のときの標本平均の分布
-
正規母集団 N( μ，σ2 ) から大きさ n の
標本を取り出したとき，標本平均 x- を標準化したもの z は，
z ＝ √n( x- － μ )/σ ～ N(0, 1)
と標準正規分布に従うが，母標準偏差 σ が未知であるときこれを標本標準偏差 s で置き換えた
ものを t 値といい，自由度 n － 1 の t 分布に従う．
これは，標本分散の分布から
V ＝ (n － 1)s2
/σ2 ～ χ2(n－1)
であり，比をとると，V /(n－1) ＝ s2
/σ2 であるので，
t ＝ z /√{V /(n－1)} ＝ { √n( x- － μ )/σ }/
{ s /σ }
＝ √n( x- － μ )/s ～ t(n－1)
となる．
- 分散未知のときの母平均 μ の区間推定
-
正規母集団 N( μ，σ2 ) から大きさ n の
標本を取り出したとき，標本平均が x- で標本分散が
s2 であるとすると，t 値は
t ＝ √n( x- － μ )/s ～ t(n－1)
であるので，自由度 n － 1 の t 分布の 97.5％分位点 t0 と
すると，
Pr[ － t0 ＜ √n(x-
－ μ )/ s ＜ t0 ] ＝ 0.95，
Pr[ - t0 s
/ √n ＜ x- － μ ＜
t0 s / √n ] ＝ 0.95，
Pr[ - t0 s
/ √n ＜ μ － x- ＜
t0 s / √n ] ＝ 0.95，
Pr[ x- － t0 s
/ √n ＜ μ ＜ x- ＋
t0 s / √n ] ＝ 0.95，
となる．最後の式を母集団平均 μ の 95％ 信頼区間と言う．
- 例題６
-
正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出したところ，標本平均が 1.5 で，標本分散が
9 であった．母集団平均 μ の 95％ 信頼区間を求めよ．
ただし，自由度 15 の t 分布の 97.5％分位点を2.13とする．
- 解答
-
t0 s / √n ＝ 2.13×√9/√16 ＝ 1.60，
よって，1.5 ± 1.60，つまり， -0.1 ＜ μ ＜ 3.10 が母平均 μ の 95％ 信頼区間
となる．
母集団分散が σ2 ＝ 9
とわかっていた例題４の母平均 μ の 95％ 信頼区間，0.03 ＜ μ ＜ 2.97，より幅が広くなることに
注意．
- F 分布
-
U が自由度 m の χ2 分布に従い
（U ～ χ2(m) ），
また，V ～ χ2(n) と
分布し，U と V が互いに独立であるとする．このとき，
2つの χ2 分布する確率変数をそのおのおのの自由度
で割った量の比を F 値といい，
F = (U/m)/(V/n)
は自由度 m，n の F 分布に従い，F ～ F(m, n) と表記する．
自由度 n － 1 の t 分布に従うt 値，
t ＝ z /√{V /(n－1)}
＝ √n( x- － μ )/s ～ t(n－1)，
において，
t 2 ～ F(1, n－1)
である．つまり，t 分布をより一般化したのが F 分布である．
回帰分析や分散分析で用いられる．
4. 仮説検定
4-1. 帰無（きむ）仮説（H0）と対立仮説（H1）
統計学で扱う仮説とは，母集団に対する断定や推測．たとえば，
- 母集団は正規分布に従っている．
- 母集団平均は 0 である．
- 母集団 A と母集団 B の平均は等しい．
などである．
統計的仮説検定で用いられる仮説は，まず，帰無仮説という形式で与えられる．
帰無仮説は棄却されることに意味がある仮説である．
帰無仮説と反対の仮説を対立仮説という．
上の3番目の例でみると，
帰無仮説：
母集団 A と母集団 B の平均は等しい．
（H0： μA ＝ μB）
対立仮説：
母集団 A と母集団 B の平均は等しくない．
（H0： μA ≠ μB）
母集団 A と母集団 B は異なる処理（薬の投与など）をしているので，実験の目的
は，母集団 A と母集団 B の平均は異なる（処理効果がある）ことを言いたい
（対立仮説が正しいことを望む）のだが，まずは
「等しい（処理効果無し）」と仮定してみようという考え方．
数学の背理法と似た論理．
背理法：√2 が無理数であることを証明するため，まず√2 が有理数であると仮定し，矛盾があることを
示す．つまり，有理数であることは絶対ありえない（確率 0 である！）ことを示す．
この矛盾は，そもそも√2 を有理数とした仮定が誤っていたからであると考え，有理数という仮定を
棄却して，無理数であることを証明する．
4-2. 有意水準
検定とは，帰無仮説を受託（採択）するか
棄却（対立仮説の採択）するかを，母集団からの標本から判定すること．
検定のため，標本から算出される t 値などを検定統計量という
統計的仮説検定では，たとえば２つの母集団平均が等しいという帰無仮説を考えると，
この帰無仮説のもとで，検定統計量（標本平均の差に基づく t 値など）以上
（もしくは未満）の値が得られる確率を求める．
くだけた言い方をすれば，帰無仮説が正しいとしたときに，標本のようなデータが得られる確率
を求める．
これが十分小さい（ほとんどありえない）ときは，平均が等しいと仮定したことが誤りであったと判断して
帰無仮説を棄却し，２つの母集団平均には差があると結論づける．
この確率がそれほど小さく
ない場合は，このような統計量が得られることもありえると考え，帰無仮説を採択し，平均が等しいと考え
てもよいとする．
棄却か採択かの判断の基準となる確率を有意水準といい，
5 % や 1 % がよく用いられる．
- 例題4-1
- 通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100g，標準偏差 10g であることが知られて
いるとする．新方式 A による飼育方法を 25 羽で試したところ，平均成長量が 105g となった．新方式
でも標準偏差は変わらないものとして，新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか
検定せよ．ただし，以下の標準正規分布の分位点（パーセント点）を用いよ．
標準正規分布の分位（パーセント）点
| 確率 |
0.95 | 0.975 | 0.99 | 0.995 |
| 分位点 |
1.64 | 1.96 | 2.33 | 2.58 |
- 解答例
- 新方式による成長量の母集団平均を μ とおき，通常の飼育方式の成長量の
母集団平均を μ0 ＝ 100 とおく．題意より，新方式での成長量の標準
偏差は，通常の飼育方式と等しい σ0 ＝ 10 とみなせる．
この問題での帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）は，
H0：μ ＝ μ0
H1：μ ≠ μ0
と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した z 値の絶対値
である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本
平均 x- ＝ 105より，
|z | ＝
√n | x- － μ0 |/σ0
＝5(105－100)/10＝2.5
である．新方式の標本平均の標準化値の絶対値 |z | ＝ 2.5 は，両側 5 ％点（片側 2.5 ％点）
の 1.96 よりは
大きく，両側 1 ％点（片側 0.5 ％点）の 2.58 よりは小さい．
よって，新方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に異なると言えるが，1 ％水準
では有意でない．つまり，5 ％有意である．
検定の結論の書き方
- 有意でない → 5 ％で帰無仮説が棄却できないとき．
- 5 ％有意 → 5 ％で帰無仮説が棄却できたが 1 ％では棄却できなかったとき．
- 1 ％有意 → 1 ％で帰無仮説が棄却できたとき．
4-3. 片側検定と両側検定
実験状況によっては，薬投与などの処理を行った集団（処理群）平均
μA が，薬を投与しない
集団（対照群）の平均 μB より小さくなることはないことが事前に
わかっているような場合が
ある．このようなとき，
帰無仮説，H0： μA ＝
μB
対立仮説，H0： μA ＞
μB
となる．これは，事前情報より，μA ＜ μB となる可能性
をまったく考えない場合である．
このため検定には，片側 5 ％点や 1 ％点を用いる．
- 例題4-2
- 通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100g，標準偏差 10g であることが知られて
いるとする．改良方式 B による飼育方法を25羽で試したところ，平均成長量が 103.5g となった．
改良方式は，通常方式より成長量が減少することがないことが知られている．
改良方式での標準偏差は変わらないものとして，改良方式 B は通常の飼育方式と
成長量が有意に増大したか
検定せよ．ただし，例題4-1の標準正規分布の分位点（パーセント点）を用いよ．
- 解答例
- 改良方式による成長量の母集団平均を μ' とおき，通常方式の成長量の
母集団平均を μ0 ＝100とおく．題意より，改良方式での成長量の標準
偏差は，通常の飼育方式と等しい σ0 ＝ 10 とみなせ，また，
改良方式平均 μ' は通常方式平均 μ0 より
下回ることは想定されない．よって，対立仮説は片側となり，
この問題での帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）は，
H0：μ' ＝ μ0
H1：μ' ＞ μ0
と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した z 値
である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本
平均 x- ＝ 103.5より，
z ＝
√n(x- － μ0 )/σ0
＝ 5(103.5－100)/10 ＝ 1.75
である．片側検定なので，片側パーセント点を用いる．
改良方式の標本平均の標準化値 z ＝ 1.75 は，片側 5 ％点の 1.64 よりは
大きく，片側 1 ％点の 2.33 よりは小さい．
よって，改良方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に増大したと言えるが，1 ％水準
では有意でない．
両側検定であれば，5 ％水準でも有意にならなかったことに注意．つまり，改良方式と通常方式
の間には有意な差はみとめられなかった，という結論になった．片側検定の方が有意な結果
が出やすい．
4-4. 両側検定と信頼区間
母集団平均に対する両側検定は，母集団平均に対する信頼区間と大きな関係がある．
いま，帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）が，
H0：μ ＝ μ0
H1：μ ≠ μ0
であり，母分散 σ2 が既知のときを考える．
標本の大きさがnで，標本平均が x- であったとすると，母平均μに対する
95％信頼区間は，
Pr[ － 1.96 ＜ √n(x-
－ μ )/σ ＜ 1.96 ] ＝ 0.95，
Pr[ x- － 1.96×σ/ √n ＜ μ
＜ x- ＋ 1.96×σ/ √n ] ＝ 0.95
となる．一方，
有意水準 5％で帰無仮説を受諾するのは，標準化値の絶対値
|z| ＝ √n|x-
－ μ0 |/σ が両側 5％点1.96以下のときである．つまり，
帰無仮説を受諾 ⇔ － 1.96 ＜ √n(x-
－ μ0 )/σ ＜ 1.96
である．この両者の関係より，
帰無仮説を受諾 ⇔ 母平均の信頼区間に μ0 が含まれる．
帰無仮説を棄却 ⇔ 母平均の信頼区間に μ0 が含まれない．
が成り立つ
- 例題4-3
- 例題4-1を，母平均に対する信頼区間を構成することで検定せよ．
- 解答例
-
母平均 μ に対する 95％信頼区間は，
Pr[ x- － 1.96×σ/ √n ＜ μ
＜ x- ＋ 1.96×σ/ √n ] ＝ 0.95
x- ± 1.96×σ/ √n →
105 ± 1.96×10/5 → 105 ± 3.92 → 101.08 ～ 108.92
となる．この信頼区間は，帰無仮説の平均 μ0 ＝100を含まない．
よって，帰無仮説は有意水準 5％で棄却される．
母平均 μ に対する 99％信頼区間は，標準正規分布の99.5％点2.58を用い，
Pr[ x- － 2.58×σ/ √n ＜ μ
＜ x- ＋ 2.58×σ/ √n ] ＝ 0.99
x- ± 2.58×σ/ √n →
105 ± 2.58×10/5 → 105 ± 5.16 → 99.84 ～ 110.16
となる．この信頼区間は，帰無仮説の平均 μ0 ＝100を含む．
よって，帰無仮説は有意水準1％で棄却されず採択される．．
4-5. 検定における２種類の過誤
検定は，仮説を棄却するか採択するかのいずれかであるが，
統計量は分布をもつので，この判定には間違いが起こることがある．
以下のように，この過誤には
2 種類がある．
統計的検定における2種類の過誤
| |
仮説の棄却 |
仮説の採択 |
| 仮説が真のとき |
第１種の過誤 |
正解 |
| 仮説が偽のとき |
正解 |
第２種の過誤 |
第１種の過誤が有意水準である．また，第２種の過誤の確率を β としたとき，
仮説が偽のとき正しく仮説を棄却する確率，1 - β，を検出力という．
よい検定は，第１種の過誤を固定したもとで検出力の高い検定方式である．
4-6. 母平均に対する t 検定
平均 μ，分散 σ2 がともに未知である正規母集団から
大きさ n の標本を抽出したところ，
標本平均が x-，標本分散が s2 であった．
帰無仮説 H0：μ ＝ μ0，
対立仮説 H1：μ ≠ μ0，
の検定は，帰無仮説のもとで，分散既知のときに標本平均を標準化して
えられる z 値，
z ＝
√n ( x- － μ0 )/σ の標準偏差のところに
標本標準偏差 s を代入した t 値，
t ＝
√n ( x- － μ0 )/s，
が自由度 n－1 の t 分布に従うことを利用して検定できる．
- 例題4-4
- 通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100gであることが知られて
いるとする．新方式 A による飼育方法を 25 羽で試したところ，平均成長量が 105g であり，
標本標準偏差が 10g であった．新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか
検定せよ．ただし，自由度 24 の t 分布の 97.5％パーセント点は 2.06 であり，
99.5％点は 2.80 である．
- 解答例
- 新方式による成長量の母集団平均を μ とおき，通常の飼育方式の成長量の
母集団平均を μ0 ＝ 100 とおく．
この問題での帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）は，
H0：μ ＝ μ0
H1：μ ≠ μ0
と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した t 値の絶対値
である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本
平均 x- ＝ 105より，
|t | ＝
√n | x- － μ0 |/s
＝5|105－100|/10＝2.5
である．新方式の標本平均の標準化値の絶対値 |t | ＝ 2.5 は，両側 5 ％点（片側 2.5 ％点）
の 2.06 よりは
大きく，両側 1 ％点（片側 0.5 ％点）の 2.80 よりは小さい．
よって，新方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に異なると言えるが，1 ％水準
では有意でない．つまり，5 ％有意である．
4-5. 2 つの母集団平均に対する t 検定
２つの母集団 A，B があり，それぞれが平均を μA，μB，
分散を σA2，σB2 の正規分布に従って
いるが，その値は未知であるとする．いま，両集団の分散の値が等しく，
σA2＝σB2＝σ2，と仮定
できるとしよう．このとき，
帰無仮説，H0： μA ＝
μB
対立仮説，H1： μA ≠
μB
の検定は t 分布を用いて行える．
母集団 A から大きさ nA，母集団 B から大きさ nB の標本を抽出した．
母集団 A からの標本の標本平均が x-A，
標本分散が sA2 であり，母集団 B の
標本平均が x-B，
標本分散が sB2 であった．母集団 A，B が共通の
分散 σ2 をもつとすると，その推定値 s2 は
以下のように推定できる．
|
母集団 A からの標本の偏差平方和：
|
SA＝（nA－1）sA2
|
|
母集団 B からの標本の偏差平方和：
|
SB＝（nB－1）sB2
|
|
母集団 A，B 全体での偏差平方和：
|
S ＝ SA ＋ SB
＝（nA－1）sA2＋
（nB－1）sB2
|
|
母集団 A，B 共通の標本分散：
|
|
また，母集団Aの標本分布は，N（μA，σ2）であり，母集団Bでは，
N（μB，σ2）であることから，それぞれの標本平均は，
x-A ～ N（μA，σ2/nA），
x-B ～ N（μB，σ2/nB）
と分布する．これより，標本平均の差x-A－
x-Bは，
と分布する．
帰無仮説（H0： μA ＝
μB）のもとでは，μA－μB＝0，なので，
標本平均の差は，
と分布する．これを標準化した z 値，
において，標準偏差 σ の代わりに標本標準偏差 s を代入した t 値，
が自由度 nA＋nB－2 の t 分布に従うことを利用して検定ができる．
なお，母集団 A，B からの標本の大きさがともに等しく，
nA＝nB＝n であるときは，式がずっと簡単になる．
母集団A，Bで分散の同等性が疑われるときは，ウェルチの検定を用いる．
- 例題4-5
- 通常の飼育方式と新方式 A による飼育方法で，鶏の１ヶ月の成長量に差があるか
調べたい．通常の飼育方式で20羽を飼育したところ，平均成長量が100g，標本標準偏差
が9gであった．また，新方式 A による飼育方法を 25 羽で行ったところ，平均成長量が 105g であり，
標本標準偏差が 11g であった．新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか
両集団の分散は等しいと仮定して検定せよ．
ただし，自由度 43 の t 分布の 97.5％パーセント点は 2.02 であり，
99.5％点は 2.70 である．
- 解答例
- 新方式による成長量の母集団平均を μ とおき，通常の飼育方式の成長量の
母集団平均を μ0 とおく．
この問題での帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）は，
H0：μ ＝ μ0
H1：μ ≠ μ0
と定式化される．両集団共通の標本分散と標本標準偏差は，
s2＝（19×92＋24×112）/（20＋25－2）
＝4443/43＝103.33，
s＝√103.33＝10.17
となる．t値の絶対値は，
t＝√｛20×25/（20＋25）｝×|105－100|/10.17＝√(100/9)×5/10.17
＝1.64
である．
両集団の標本平均の差の標準化値の絶対値 |t|＝1.64は，両側 5 ％点（片側 2.5 ％点）の
2.02より小さいので，新方式と通常方式の成長量は 5 ％で有意に異ならない．つまり，
帰無仮説は棄却されない．
参考文献
- 『心理・教育のための統計法（第 2 版）』，山内光哉，1998，サイエンス社
- 『実践生物統計学－分子から生態まで－（第 1 章，第 2 章）』，
東京大学生物測定学研究室編（大森宏ら），
2004，朝倉書店
- 『フリーソフトウェア R による統計的品質管理入門』，荒木孝治 編著，2005，日科技連
- 『The R Tips（データ解析環境Rの基本技・グラフィックス活用集）』，船尾暢男，九天社
- 『工学のためのデータサイエンス入門（フリーな統計環境Rを用いた統計解析）』間瀬茂ら，2004, 数理工学社
- 『生のデータを料理する』，岸野洋久，日本評論社
- 『統計的官能検査法』，佐藤信，1985, 日科技連
Copyright (C) 2006, Hiroshi Omori. 最終更新：2006年 7月10日
