2008.11.20

母平均に対する区間推定（追加）

母分散 σ2 が既知のとき（5.29 号）

正規母集団 N( μ，σ2 ) から大きさ n の 標本を取り出したとき，標本平均が x- であったとする．標本平均は，

x- 〜 N( μ，σ2/n ) → z ＝ √n(x- − μ )/σ 〜 N(0, 1)

と分布する．標準正規分布の 97.5％分位点は 1.96 であるので， 標準正規分布する確率変数 z が -1.96 から 1.96 に入る確率は 0.95 となる．つまり，

Pr[ − 1.96 ＜ z ＜ 1.96 ] ＝ 0.95，
Pr[ − 1.96 ＜ √n(x- − μ )/σ ＜ 1.96 ] ＝ 0.95，
Pr[ - 1.96×σ/ √n ＜ x- − μ ＜ 1.96×σ/ √n　] ＝ 0.95，
Pr[ - 1.96×σ/ √n ＜ μ − x-＜ 1.96×σ/ √n　] ＝ 0.95，
Pr[ x- − 1.96×σ/ √n ＜ μ ＜ x- ＋ 1.96×σ/ √n　] ＝ 0.95，

となる．よって，母平均 μ の 95％信頼区間は，

x- ± 1.96×σ / √n

となる．

母分散 σ2 が未知のとき（11.13 号）

　分散 σ2 を標本分散 s2 で推定する．データの数が n なので，自由度は n -1 である．自由度 n - 1 の t 分布 の 97.5％分位点 t0 とすると，正規分布のときの 1.96 を t0，母標準偏差 σ を標本標準偏差 s でおきかえて， 母平均 μ の 95％信頼区間が

x- ± t0×s / √n

となる．

8-3. 母平均に対する t 検定（追加）

帰無仮説 H0：μ ＝ 0，に対して有意水準 5 ％の検定を行うとする．
例題(追加）
過去の経験から分散が 9 であることがわかっている正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出 したところ，標本平均が 1.5 であった．母平均が 0 であるという帰無仮説 H0：μ ＝ 0， を検定せよ．
解答
| z | ＝ √n ×| x- | /σ = √16×1.5/3 = 2 ＞ 1.96，
となり，| z | 値が標準正規分布の 97.5％点の 1.96 より大きいので帰無仮説は有意水準 5％で 棄却される．
母平均 μ の 95％信頼区間が 0 を含んでいないので帰無仮説 H0：μ ＝ 0 は棄却される， と考えてもよい．
例題(追加）
正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出 したところ，標本平均が 1.5 で標本分散が 9 であった． 母平均が 0 であるという帰無仮説 H0：μ ＝ 0， を検定せよ．
解答
自由度 15 の t 分布の 97.5％点は t 分布表から 2.13 である．
| t | ＝ √n ×| x- |s / = √16×1.5/3 = 2 ＜ 2.13
となり，| t | 値がこの 2.13 より小さいいので帰無仮説は棄却されない．
母平均 μ の 95％信頼区間が 0 を含んでいるので帰無仮説 H0：μ ＝ 0 は棄却されない， と考えてもよい．
　
例題
あるダイエット法 A を3ヶ月間試したところ，以下のデータを得た．この方法に効果があるかを検定してみる．
　帰無仮説は，「ダイエット法 A に効果がない．」であり，ダイエット法の使用前から使用後での体重の減少が０より 有意に大きいか，を検定することで効果の判定が行える．すなわち，
ダイエットの効果：減少量平均 ＝ （使用前体重 − 使用後体重）の平均
としたとき，

帰無仮説　H0 ： 減少量平均 ＝ 0
対立仮説　H1 ： 減少量平均 ≠ 0

と定式化される． 以下の表の空欄を埋めよ．
Copyright (C) 2008, Hiroshi Omori. 最終更新：2008年11月20日