2008.5.15
携帯解答サイト： http://lbm.ab.a.u-tokyo.ac.jp/~omori/k/
- 平均値，標本分散の計算（再挑戦）の結果
-
第１問：メディアン
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
26 | 12 |
27 | 39 |
-
-
第２問：平均
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
24 | 16 |
25 | 41 |
-
-
第３問：標本分散
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
23 | 32 |
19 | 51 |
-
-
第４問：標本標準偏差
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
18 | 19 |
15 | 35 |
-
-
前回より成績が向上してよかった．
5-2．正規分布の形状
平均 μ と分散 σ2（標準偏差 σ）の違いにより分布の形状がどのように異なるかをみてみよう．
左下図をみると，平均 μ は分布の中心的な位置を表している．また右下図をみると，標準偏差 σ は分布の拡がりを表している．
すなわち，σ が小さいと分布はより平均の近くに集まり，σ が大きいと分布は幅広い範囲に拡がる．
正規分布は，数量データの分布を表す最も重要な分布である．そのわけは，
- 身長，体重など正規分布に従うデータが多い（経験的知識）
- どのような分布をもつ母集団からのサンプルであっても，データの平均値はデータ
数を増やせば正規分布に近づく（中心極限定理）
5-3．標準正規分布 N(0, 1)
平均 μ = 0，分散 σ2 = 1（標準偏差も1）の正規分布を標準正規分布という．
正規分布との関係
-
| 正規分布 |
標準正規分布 |
| 平均：μ，分散：σ2
|
平均：0，分散：1 |
| x 〜
N( μ，σ2 ) |
z 〜 N(0，1) |
| z ＝ (x − μ)/σ |
x ＝ μ ＋ σ*z
|
|
標準正規分布累積確率表
| z の値 |
0.0 | 0.1 | 0.2 |
0.3 | 0.4 | 0.5 |
0.6 | 0.7 | 0.8 |
0.9 | 1.0 |
| 累積確率 |
0.500 | 0.540 | 0.579 |
0.618 | 0.655 | 0.691 |
0.726 | 0.758 | 0.788 |
0.816 | 0.841 |
| 1.1 | 1.2 |
1.3 | 1.4 | 1.5 |
1.6 |
1.64 |
1.7 | 1.8 |
1.9 | 1.96 |
2.0 | 2.58 |
3.0 |
| 0.864 | 0.885 |
0.903 | 0.919 | 0.933 |
0.945 |
0.95 |
0.955 | 0.964 |
0.971 | 0.975 |
0.977 | 0.995 |
0.999 |
- 標準正規分布累積表の使い方（小数第１位）
以下のデータの代表値を小数第１位まで（小数第２位まで求めて四捨五入する）求めよ．
計算には電卓等を用いてよい．解答は数値解答テストで送信(半角数字)
すること．
第１問：標準正規分布 N(0, 1) で，1以上にデータの何％を含むか．
第２問：標準正規分布で，-2以下にデータの何％を含むか．
第３問：標準正規分布で，-1から1までの間にデータの何％を含むか．
第４問：標準正規分布で，-1.96から1.96までの間にデータの何％を含むか．
第５問：平均50点，標準偏差10点の正規分布 N(50，100) で，50点以下にデータの何％を含むか．
第６問：平均50点，標準偏差10点の正規分布で，35点以上にデータの何％を含むか．
第７問：平均50点，標準偏差10点の正規分布で，上位5％以内に入るには何点（整数）あればよいか．
第８問：1万人が受けたテストの平均は50点，標準偏差は10点であった．70点の学生の順位．
5-4. 独立な正規分布の合成分布
平均 μ1，
分散 σ12，の正規分布
からの標本 x 〜
N( μ1，σ12 )
と，
平均 μ2，
分散 σ22，の正規分布
からの標本 y 〜
N( μ2，σ22 )
があり，両者が互いに独立であるとする．（y の値は x の値の影響を受けない．）
- 和の分布
-
x ＋ y は平均 μ1 ＋
μ2，分散 σ12 ＋
σ22，の正規分布に従う．
x ＋ y 〜 N（
μ1 ＋ μ2，
σ12 ＋
σ22 ）
- 差の分布
-
x − y は平均 μ1 −
μ2，分散 σ12 ＋
σ22，の正規分布に従う．
x − y 〜 N（
μ1 − μ2，
σ12 ＋
σ22 ）
- 一般の線形結合の分布
-
a と b を任意の実数（スカラー）とすると，x と y の線形結合
ax ＋ by は，
ax ＋ by 〜 N（
aμ1 ＋ bμ2，
a2
σ12 ＋
b2
σ22 ）
- 例題
- 平均 μ 分散 σ2 の正規分布から無作為標本
（ランダムサンプル），
x1，
x2，
x3，
を抽出した．標本平均 x- の分布を求めよ．
- 解答例
-
x- ＝ (x1 +
x2 +
x3 )/3 ＝
(1/3)x1 +
(1/3)x2 +
(1/3)x3，
である．これより，
標本平均 x- の平均：E[x- ] ＝
(1/3)μ + (1/3)μ + (1/3)μ = μ
標本平均 x- の分散：Var[x- ] ＝
(1/3)2σ2
+ (1/3)2σ2
+ (1/3)2σ2
＝ (1/3)σ2
よって，x- 〜 N（μ，σ2/3 )．
標準偏差は σ/√3．
- 正規分布からの標本（サンプル）の平均値の分布
-
平均 μ，分散 σ2 の正規分布から大きさ n の標本を抽出
→ 標本平均 x- は平均 μ，分散 σ2/n
（標準偏差 σ/√n）の正規分布に従う．
x- 〜 N（μ，σ2/n )．
→ 標本の大きさ（サンプルサイズ）を大きくすれば，母集団平均 μ は標本平均 x- で
精度よく推定できる．
Copyright (C) 2008, Hiroshi Omori. 最終更新：2008年 5月15日
