2008.5.22
携帯解答サイト： http://lbm.ab.a.u-tokyo.ac.jp/~omori/k/
標準正規分布 N(0，1) 累積表の結果
第１問：1 以上
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
27 | 73 |
21 | 94 |
| |
第２問：-2 以下
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
25 | 16 |
20 | 36 |
|
第３問：-1 から 1
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
21 | 7 |
20 | 27 |
| | <
第４問：-1.96 から 1.96
| 内訳 |
解答者数 | 間違い |
正解 | のべ解答数 |
|---|
| 人数 |
19 | 1 |
18 | 19 |
|
標準正規分布累積表の使い方と意味については理解できたようだ．
5-3．標準正規分布 N(0, 1)（追加）
標準正規分布 N(0, 1) では，-1 ≦ z ≦ 1 の範囲に全体の68.3％が含まれ，
-2 ≦ z ≦ 2 の範囲に全体の95.4％が含まれる（下左図）．
また，平均 μ - 30，
分散 25 の正規分布 N(30, 25) では，標準偏差が σ = √25 = 5 なので，
25 ≦ x ≦ 35 の範囲に全体の68.3％が含まれ，
20 ≦ x ≦ 40 の範囲に全体の95.4％が含まれる（下右図）．
範囲に含まれる確率
| N(0, 1) |
N(30, 25) |
N(μ，σ2) |
確率(％) |
| -1 → 1 |
25 → 35 |
μ - σ → μ + σ |
68.3 |
| -1.96 → 1.96 |
20.2 → 39.8 |
μ - 1.96σ → μ + 1.96σ |
95.0 |
| -2 → 2 |
20 → 40 |
μ - 2σ → μ + 2σ |
95.4 |
| -2.58 → 2.58 |
17.1 → 42.9 |
μ - 2.58σ → μ + 2.58σ |
99.0 |
| -3 → 3 |
15 → 45 |
μ - 3σ → μ + 3σ |
99.7 |
- 例題
-
標準正規分布では，-2から2までの間に全データのかなりの部分（95.4%）が含まれる．
平均 8，分散 4 の正規分布でこの区間に対応するのは何か．
-
平均μ＝8，標準偏差σ＝√4＝2．
小さい値＝μ−2σ＝8−2*2＝4，
大きい値＝μ＋2σ＝8＋2*2＝12．
これより，4 〜 12，に全データのかなりの部分が含まれる．
第９問：1000人の学生による英語試験の成績は，平均60点，標準偏差は12点であった．
上位30番以内に入るには何点が必要か．（携帯で送信）
5-4. 独立な正規分布の合成分布（続き）
- 例題
-
平均身長 172.5cm，標準偏差 6cm の集団 A と，平均身長 168cm，標準偏差 4.5cm の集団 B がある．
いま，集団 A，B からそれぞれ 1 人をランダムに選んだとき，集団 A から選ばれた人の方が集団 B から
選ばれた人より背が高くなる確率を求めよ．
- 解答例
-
集団 A からの標本を x，集団 B からの標本を y とする．
x 〜 N（172.5，36），y 〜 N（168，20.25）なので，
u ＝ x − y 〜 N（4.5，56.25）に従う．
つまり，
集団 A からの標本と集団 B からの標本の差は，平均 4.5cm，標準偏差 √56.25＝7.5cm の
正規分布に従う．この正規分布が 0 より大きくなる確率を求めればよい．
標準正規分布に変換すると，
z ＝ (u − μ)/σ ＝ (0−4.5)/7.5 ＝ -0.6
となるので，標準正規分布が -0.6 以上となる確率である．正規分布の対称性から，
Pr[ z ＞ -0.6 ] ＝ Pr[ z ＜ 0.6 ] ＝ 0.726
である．
- 例題
-
上記の 2 つの集団 A，B において，こんどは両集団からそれぞれランダムに 9 名ずつ選び，それぞれの
平均身長を計算した．集団 A から選ばれた人の平均身長の方が集団 B から
選ばれた人の平均身長より高くなる確率を求めよ．
- 解答例
-
集団 A からの標本を x1 ，…，
x9，
集団 B からの標本を y1 ，…，
y9，とし，それぞれの平均を x-，
y- とする．
xi 〜 N（172.5，36）より
x- 〜 N（172.5，36/9）＝N（172.5，4），同様に，
yi 〜 N（168，20.25）より
y- 〜 N（168，2.25）である．
これより，集団 A，B の平均身長の差は，
u ＝ x- − y- 〜 N（4.5，6.25）と分布する．
すなわち，
集団 A，B の標本平均の差は，平均 4.5cm，標準偏差 √6.25＝2.5cm の正規分布に従う．
この正規分布が 0 より大きくなる確率を求めればよい．
標準正規分布に変換すると，
z ＝ (u − μ)/σ ＝ (0−4.5)/2.5 ＝ -1.8
となるので，標準正規分布が -1.8 以上となる確率である．正規分布の対称性から，
Pr[ z ＞ -1.8 ] ＝ Pr[ z ＜ 1.8 ] ＝ 0.964
である．
