2009.10.29

9-4．R × C 表

　大きさ n の標本を２つの変数 A，B で分類したとき，２つの変数に関連があるかを調べたい． 変数 A が R 個のカテゴリー A1， A2，…，AR，に分かれ， 変数 B が C 個のカテゴリー B1， B2，…，BC，に分かれていると すると，標本のうち，カテゴリー Ai，Bj に落ちた個数を nij とすると，以下のようび R × C 表にクロス集計される．

R × C 分割表データ
　　B1　　B2　 　…　　BC　　計　　
　A1　 n11 n12 　…　 n1C n1・
　A2　 n21 n22 　…　 n2C n2・
： ： ： … ： ：
　AR　 nR1 nR2 　…　 nRC nR・
　計　 n・1 n・2 　…　 n.C n

すると，2 × 2 分割表のときと同様に， 集団 i の標本の中で，反応 j を取る確率を pij とし，集団 i の周辺確率を pi.， 反応 j の周辺確率を p.j とすると，独立性の仮説は，

帰無仮説，H0： pij ＝ pi.p.j， 対立仮説，H1： pij ≠ pi.p.j，
の検定になる．帰無仮説のもとで χ2 値が，
contengency
と分布するので，独立性の検定や頻度分布の同等性の検定を行うことができる．
例題
カップヌードルの好みは年代によって違いがあるかどうかを調べた．10代，20代，30代，40代 の被験者をそれぞれ100名ずつ選び，好みを聞いたところ以下の表がえられた．
帰無仮説 H0：ヌードルの好みは年代により異ならない
の検定を行え．

年代による好みの違い
　　10代　　20代　　30代　 　40代　    計  
　カップヌードル　41 50 　57　56　204
　シーフードヌードル　 59 50 　43 　44　196
　計　 100 100 100 100 400

グラフに図示すると以下のようになった． 若い人（10代）はシーフードヌードルを好み， 比較的年配の人（30代，40代）はカップヌードルを好む傾向にありそうに見える．
解答
表から，観測度数，期待度数，偏差を計算し，ピアソンの χ2 値を計算する． 自由度 (2 - 1)×(4 - 1) = 3 の χ2 分布表から有意かどうか判定する．
30代と40代では，好みに違いがなさそうなので，検定の自由度を減らすため，30代と40代でまとめて， 10代，20代，30・40代の３つのカテゴリーにまとめてみた．この場合の自由度は (2 - 1)×(3 - 1) = 2 となり，自由度が一つ減って有意になりやすくなる．

年代による好みの違い２
　　10代　　20代　　30-40代　    計  
　カップヌードル　41 50 　113　204
　シーフードヌードル　 59 50 　87 　196
　計　 100 100 200 400

10．t 検定

10-1. t 分布

定義

　標準正規分布に従う確率変数を z，(z 〜 N(0,1))，
自由度 n の χ2 分布に従う 確率変数を V，(V 〜 χ2(n))， とする．
両者が独立であるとすると，その比 t は，自由度 n の t 分布，t(n)，に従う．

分散未知のときの標本平均の分布

　正規母集団 N( μ，σ2 ) から大きさ n の 標本を取り出したとき，標本平均 x- を標準化したもの z は，
と標準正規分布に従う．
　母標準偏差 σ が未知であるときこれを標本標準偏差 s で置き換えた ものを t 値といい，自由度 n − 1 の t 分布に従う．
これは，標本分散の分布から
であるので，比を取ると，
となるからである．
Copyright (C) 2008, Hiroshi Omori. 最終更新：2009年10月29日