2009.6.04

5-6. 正規分布に基づく母数の区間推定

分散既知の場合の母平均 μ の区間推定

　正規分布する母集団で分散がわかっている場合は，未知の平均に関する区間推定ができる．
いま，正規分布 N( μ，σ2 ) において，大きさ n の標本を 抽出したとき，標本平均 x- は，

x- 〜 N( μ，σ2/n ) → z ＝ √n(x- − μ )/σ 〜 N(0, 1)

と分布する．標準正規分布の 97.5％分位点は 1.96 であるので， 標準正規分布する確率変数 z が -1.96 から 1.96 に入る確率は 0.95 となる．つまり，

Pr[ − 1.96 ＜ z ＜ 1.96 ] ＝ 0.95，
Pr[ − 1.96 ＜ √n(x- − μ )/σ ＜ 1.96 ] ＝ 0.95，
Pr[ - 1.96×σ/ √n ＜ x- − μ ＜ 1.96×σ/ √n　] ＝ 0.95，
Pr[ - 1.96×σ/ √n ＜ μ − x-＜ 1.96×σ/ √n　] ＝ 0.95，
Pr[ x- − 1.96×σ/ √n ＜ μ ＜ x- ＋ 1.96×σ/ √n　] ＝ 0.95，

となる．最後の式を母集団平均 μ の 95％ 信頼区間と言う．
このように，母数の信頼区間を標本から推定することを区間推定という．

例題
過去の経験から分散が 9 であることがわかっている正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出 したところ，標本平均が 1.5 であった．標準正規分布の 97.5％ 分位点を 1.96 として，母平均 μ の 95％ 信頼区間を求めよ．
解答例
σ＝√9＝3，√n＝√16＝4，より，1.96×σ/ √n＝1.96×3/4＝1.47
よって，1.5 ± 1.47，つまり， 0.03 ＜ μ ＜ 2.97 が母平均 μ の 95％ 信頼区間 となる．

95％ の意味

　同じ正規母集団から標本抽出を繰り返すと，毎回標本平均として異なる値がえられ，それに 対応して信頼区間も異なる．この信頼区間の 95％ が真の平均 μ を含む，という意味である．
つまり，100回の標本抽出により，100 個の信頼区間を作ったら平均的にみて，95 個の信頼区間が 真の平均 μ を含むことが期待できる．
下の図は，平均 0 分散 2 の正規分布 N( 0, 2 ) から大きさ 10 の標本を取りだし，分散が既知であるとして， 母平均に対する信頼区間を 100 個生成したものである．"×" が標本平均を示す．左の "*" は，信頼区間 が母平均の真値 0 を含まなかった場合である．

休講中の宿題

　以下の問題に携帯もしくはパソコンから解答せよ．

携帯（パソコン）解答サイト： http://lbm.ab.a.u-tokyo.ac.jp/~omori/k/

数値解答テスト３で送信(半角数字) すること．
１問２点で，５問総得点が成績に加算される．何回間違えても 正解すれば得点できる．

問題
1000人が受験した英語試験がある．学生全体（母集団）の（母）平均は μ = 54点，（母）標準偏差は σ = 12点 であった．
以下の問に 標準正規分布累積確率表を見て答えよ．ただし，確率表を用いるときは，計算した値に最も 近い値に対する確率を使え．

第21問：上位100番以内に入るには，何点（整数）が必要か．

A 先生のクラスは 25 名であった．クラスは学生からランダム抽出（サンプリング）したものと仮定した．

第22問：クラスの平均得点の標準偏差（標準誤差）はいくらか（小数点第１位）．
第23問：クラスの平均が50点以下である確率は何％（小数点第１位）か．

B 先生のクラスも 25 名であった．クラスの学生はランダムに選ばれ，A，B 先生で教え方 に差がないと仮定したとする．

第24問：A 先生のクラス平均と B 先生のクラス平均の差の標準偏差（標準誤差）はいくらか（小数点第１位）．
第25問：A 先生のクラス平均が B 先生のクラス平均より 5 点高くなる確率は何％（整数）か．

Copyright (C) 2008, Hiroshi Omori. 最終更新：2009年 6月03日