2009.6.25

休講中の宿題

学籍番号を送信していない学生が何人かいました．

第21問：上位100番 　内　訳　 　解答総数　 　正解学生数　 　人　数　 　187 　73		第22問：クラス平均得点の標準誤差 　内　訳　 　解答総数　 　正解学生数　 　人　数　 　129 　76		第23問：平均点が50点以下の確率 　内　訳　 　解答総数　 　正解学生数　 　人　数　 　200 　58
第24問：クラス平均の差の標準偏差 　内　訳　 　解答総数　 　正解学生数　 　人　数　 　109 　52		第25問：A 組の平均が B 組の平均より 5 点高い確率 　内　訳　 　解答総数　 　正解学生数　　 　人　数　 　100 　31

６．仮説検定

6-1．帰無仮説（H₀）と対立仮説（H₁）

統計的仮説

統計学で扱う仮説とは，母集団に対する断定や推測．たとえば，

• 母集団は正規分布に従っている．
• 母集団平均は 0 である．
• 母集団 A と母集団 B の平均は等しい．

統計的仮説検定で用いられる仮説は，まず，帰無仮説という形式で与えられる．
帰無仮説は棄却されることに意味がある仮説である．
帰無仮説と反対の仮説を対立仮説という．

上の3番目の例でみると，

母集団 A と母集団 B は異なる処理（薬の投与など）をしているので，実験の目的 は，母集団 A と母集団 B の平均は異なる（処理効果がある）ことを言いたい （対立仮説が正しいことを望む）のだが，まずは 「等しい（処理効果無し）」と仮定してみようという考え方．

6-2．検定

検定統計量

有意水準

　統計的仮説検定では，たとえば２つの母集団平均が等しいという帰無仮説を考えると， この帰無仮説のもとで，検定統計量（標本平均の差に基づく t 値など）以上 （もしくは未満）の値が得られる確率を求める．
くだけた言い方をすれば，帰無仮説が正しいとしたときに，標本のようなデータが得られる確率 を求める．
これが十分小さい（ほとんどありえない）ときは，平均が等しいと仮定したことが誤りであったと判断して 帰無仮説を棄却し，２つの母集団平均には差があると結論づける．
この確率がそれほど小さく ない場合は，このような統計量が得られることもありえると考え，帰無仮説を採択し，平均が等しいと考え てもよいとする．
棄却か採択かの判断の基準となる確率を有意水準といい， 5 % や 1 % がよく用いられる．

例題

通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100g，標準偏差 10g であることが知られて いるとする．新方式 A による飼育方法を 25 羽で試したところ，平均成長量が 105g となった．新方式 でも標準偏差は変わらないものとして，新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか 検定せよ．ただし，以下の標準正規分布の分位点（パーセント点）を用いよ．

標準正規分布の分位（パーセント）点

確率	0.95	0.975	0.99	0.995
分位点	1.64	1.96	2.33	2.58

解答例

新方式による成長量の母集団平均を μ とおき，通常の飼育方式の成長量の 母集団平均を μ₀ ＝ 100 とおく．題意より，新方式での成長量の標準 偏差は，通常の飼育方式と等しい σ₀ ＝ 10 とみなせる．
この問題での帰無仮説（H₀）と対立仮説（H₁）は，

H₀：μ ＝ μ₀
H₁：μ ≠ μ₀

と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した z 値の絶対値 である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本 平均 x^- ＝ 105より，

|z | ＝ √n | x^- − μ₀ |/σ₀ ＝5(105−100)/10＝2.5

である．新方式の標本平均の標準化値の絶対値 |z | ＝ 2.5 は，両側 5 ％点（片側 2.5 ％点） の 1.96 よりは 大きく，両側 1 ％点（片側 0.5 ％点）の 2.58 よりは小さい．
よって，新方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に異なると言えるが，1 ％水準 では有意でない．つまり，5 ％有意である．

• 有意でない → 5 ％で帰無仮説が棄却できないとき．
• 5 ％有意 → 5 ％で帰無仮説が棄却できたが 1 ％では棄却できなかったとき．
• 1 ％有意 → 1 ％で帰無仮説が棄却できたとき．

片側検定と両側検定

実験状況によっては，薬投与などの処理を行った集団（処理群）平均 μ_A が，薬を投与しない 集団（対照群）の平均 μ_B より小さくなることはないことが事前に わかっているような場合が ある．このようなとき，

例題

通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100g，標準偏差 10g であることが知られて いるとする．改良方式 B による飼育方法を25羽で試したところ，平均成長量が 103.5g となった． 改良方式は，通常方式より成長量が減少することがないことが知られている． 改良方式での標準偏差は変わらないものとして，改良方式 B は通常の飼育方式と 成長量が有意に増大したか 検定せよ．ただし，例題4-1の標準正規分布の分位点（パーセント点）を用いよ．

解答例

改良方式による成長量の母集団平均を μ^' とおき，通常方式の成長量の 母集団平均を μ₀ ＝100とおく．題意より，改良方式での成長量の標準 偏差は，通常の飼育方式と等しい σ₀ ＝ 10 とみなせ，また， 改良方式平均 μ^' は通常方式平均 μ₀ より 下回ることは想定されない．よって，対立仮説は片側となり， この問題での帰無仮説（H₀）と対立仮説（H₁）は，

H₀：μ^' ＝ μ₀
H₁：μ^' ＞ μ₀

と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した z 値 である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本 平均 x^- ＝ 103.5より，

z ＝ √n(x^- − μ₀ )/σ₀ ＝ 5(103.5−100)/10 ＝ 1.75

である．片側検定なので，片側パーセント点を用いる． 改良方式の標本平均の標準化値 z ＝ 1.75 は，片側 5 ％点の 1.64 よりは 大きく，片側 1 ％点の 2.33 よりは小さい．
よって，改良方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に増大したと言えるが，1 ％水準 では有意でない．
両側検定であれば，5 ％水準でも有意にならなかったことに注意．つまり，改良方式と通常方式 の間には有意な差はみとめられなかった，という結論になった．片側検定の方が有意な結果 が出やすい．