2006.6.8

東京国際大学 統計学の応用(a)

問題集

東京大学大学院農学生命科学研究科　大森宏

数表

標準正規分布累積確率表

z 値	-2.5	-2.4	-2.3	-2.2	-2.1	-2.0	-1.9	-1.8	-1.7	-1.6	-1.5	-1.4
累積確率	0.006	0.008	0.011	0.014	0.018	0.023	0.029	0.036	0.045	0.055	0.067	0.081
z 値	-1.3	-1.2	-1.1	-1.0	-0.9	-0.8	-0.7	-0.6	-0.5	-0.4	-0.3	-0.2
累積確率	0.097	0.115	0.136	0.159	0.184	0.212	0.242	0.274	0.309	0.345	0.382	0.421

t 分布の分位点（パーセンタイル）

自由度	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
97.5％分位点	2.57	2.45	2.36	2.31	2.26	2.23	2.20	2.18	2.16	2.14
自由度	15	16	17	18	20	30	50	100	500	N(0,1)
97.5％分位点	2.13	2.12	2.11	2.10	2.09	2.04	2.01	1.98	1.96	1.96

5/25：予備テスト

問題１

標準正規分布では，-3 から 3 までの間に全データのほとんどすべて（99.7%）が含まれる． 平均60，標準偏差4の正規分布に従うデータのほとんどすべてを含む区間はどれか．

解答：

データのほとんどすべてを含むのは，平均のまわりで，標準偏差の±3倍（±3σ）= 4×3＝12． つまり，60±12＝48 から 72．

　

問題２

平均 70，標準偏差 6 の正規分布に従うデータにおいて， ちょうど平均であるデータ 70 は標準正規分布では 0 に対応する． データ79が標準正規分布に対応する点はどれか．

解答：

データ x=79 の平均μからの偏差＝x−μ＝79−70＝9．これは，標準偏差σの，z＝（x−μ）/σ＝９/6＝1.5倍． つまり，標準正規分布では z＝1.5 に対応する．この操作を標準化という．

5/25：本テスト

問題１

1000人の学生による英語試験の平均は60点， 標準偏差は12点であった．48点から72点の間には何人くらいの学生がいるか．

解答：

48点から72点は平均60点±12点で，これは，平均(μ)±標準偏差(σ)の範囲である． 標準正規分布では±1の範囲に全体の68.3％が含まれるので， 1000人ではその68.3％の683人が含まれる．

　

問題２

1000人の学生による英語試験の平均は60点，標準偏差は12点であった． 上位25番以内に入るには何点が必要か．

解答：

1000人の上位25番以内は，全体の上位2.5％である．標準正規分布の97.5％分位点は，1.96であるので， 平均より1.96σ＝1.96×12＝23.52点高ければよい．つまり，60＋23.52＝83.52点必要．

　

問題３

平均60，標準偏差5の正規分布Ａと平均58，標準偏差3の正規分布Ｂがある． Ａからの標本とＢからの標本の差の平均は2であるが，標準偏差はどれくらいになるか．

解答：

２つの独立な正規分布の和や差の分布の分散は，もとの正規分布の分散の和になる． σ_A＝５，σ_B＝3，より， 分散は，σ_A²＝25， σ_B²＝9，であり， 差の分散は，σ_A-B²＝ σ_A²＋σ_B²＝34である． 標準偏差は，σ_A-B＝√34≒5.83，である．

　

問題４

平均7，標準偏差5の正規分布からの標本が0より大きくなる確率を求めよ．

解答：

平均 μ＝7，標準偏差 σ＝5，の正規分布の点 x＝0，の標準正規分布に対応する点 z は， 予備テスト問題２より，z＝(xーμ)/σ＝(0−7)/5＝-1.4，である．0 より大きくなる確率， Pr[x＞0]，は標準正規分布では -1.4 より大きくなる確率，Pr[z＞-1.4]，である． -1.4 より小さくなる確率が表より，Pr[z＜-1.4]＝0.081，とわかるので， 求める確率は，Pr[x＞0]＝Pr[z＞-1.4]＝1−Pr[z＜-1.4]＝1−0.081＝0.919，である．

　

問題５

平均7，標準偏差5の正規分布からの大きさ16の標本を抽出し， 標本平均を求めた．標本平均の標準偏差はどれくらいの大きさになるか．

解答：

平均 μ，分散 σ² の正規分布，N(μ，σ²)， から大きさ n の標本 x_i を抽出したとき， 標本平均 x^- は平均 μ，分散 σ²/n の正規分布， N(μ，σ²/n)，に従う． これより，標本平均の標準偏差は，σ_x-＝ σ/√n＝5/√16＝5/4＝1.25，である．

6/1：本テスト

問題１

10,000人の学生による国語試験の平均は55点，標準偏差は12点あった．73点のＡさんの順位はどの位であるか．

解答：

73点を標準化すると，z＝（x−μ)/σ＝(73−55)/12＝1.5．表より，-1.5以下の確率が0.067なので， 1.5以上になる確率も0.067である．10000×0.067＝670．

　

問題２

平均10，標準偏差20の正規分布からの標本が0より大きくなる確率はどれくらいであるか．近いものを選べ

解答：

標準化すると，z＝(x−μ)/σ＝(0−10)/20＝-0.5．問題は，標準正規分布で-0.5より大きくなる確率と等しい．表より， -0.5以下の確率が0.309なので，求める確率は，1−0.309＝0.691

　

問題３

平均10，標準偏差20の正規分布する母集団(ぼしゅうだん)から大きさ25の標本を抽出したとき， 標本平均が0より大きくなる確率はどれくらいであるか．近いものを選べ．

解答：

大きさnの標本の標本平均の標準偏差はσx＝σ/√n＝20/√25＝4．この分布のもとで標準化すると， z＝(x−μ)/σx＝(0−10)/4＝-2.5．問題は， 標準正規分布が-2.5以上となる確率．-2.5以下の確率が0.006なので，求める確率は，1−0.006＝0.994．

6/8：本テスト

問題１

分散16の正規分布から大きさ25の標本を抽出したら，標本平均が10であった．母集団平均μの95％信頼区間を求めよ． 標準正規分布の97.5％分位点を1.96とする．

解答：

分散σ²がわかっているときの，母集団平均μの95％信頼区間は，
x^- − 1.96×σ/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 1.96×σ/ √n
であるので，1.96×σ/√n＝1.96×4/√25＝1.568．これより，10±1.57，よって，8.43＜μ＜11.57．

　

問題２

正規母集団から大きさ20の標本を抽出した．母分散の信頼区間を計算するために必要な分布は何か．

解答：

正規母集団，N（μ，σ² ）から大きさ n の標本を抽出し，標本分散を s² とすると， (n−1)s² /σ² は自由度 n−1 のχ² 分布に従う．これより， n=20 で，母分散σ² の推論を行うときは，自由度 19 のχ² 分布を用いればよい．

6/15：予備テスト

問題１

正規母集団から大きさ16の標本を抽出したら，標本平均が5で，標本標準偏差が3であった． 母集団平均μの95％信頼区間を求めよ．

解答：

分散σ²が未知のときの，母集団平均μの95％信頼区間は，大きさnの標本の 標本平均をx^-，標本標準偏差をsとすると，
t ＝ √n( x^- − μ )/s は自由度n−1のt分布 に従う．自由度15のt分布の97.5パーセント点が，2.13であるので，信頼区間は，
x^- − 2.13×s/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 2.13×s/ √n
である．2.13×s/ √n＝2.13×3/√16＝1.60．よって，5±1.60． よって，3.40＜μ＜6.60

　

問題２

標準偏差が3の正規分布から大きさ16の標本を抽出したら，標本平均が5であった． 母集団平均μの95％信頼区間を求めよ．

解答：

分散σ²がわかっているときの，母集団平均μの95％信頼区間は，
x^- − 1.96×σ/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 1.96×σ/ √n
であるので，1.96×σ/√n＝1.96×3/√16＝1.47．これより，5±1.47，よって，3.53＜μ＜6.47．

　

問題３

正規母集団から大きさ16の標本を抽出した．標本分散は5であった．母分散の95%信頼区間は何か．

解答：

自由度15のχ² 分布の2.5％，97.5％点がそれぞれ，6.26と27.49であるので，分散 σ² の95％信頼区間は，
6.26 ＜ (n − 1)s² /σ² ＜ 27.49
つまり，
(n − 1)s² /6.26 ＞ σ² ＞ (n − 1)s² /27.49
である．これより，15×5/27.49＜ σ² ＜15×5/6.26， 2.73＜ σ² ＜11.98，である．

6/22：予備テスト

問題１

分散が4の正規分布から大きさ9の標本を抽出したら，標本平均が5であった．母集団平均μの95％信頼区間は何か．

解答：

分散σ²がわかっているときの，母集団平均μの95％信頼区間は，
x^- − 1.96×σ/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 1.96×σ/ √n
であるので，1.96×σ/√n＝1.96×2/√9＝1.31．これより，5±1.31，よって，3.69＜μ＜6.31．

　

問題２

正規母集団から大きさ9の標本を抽出したら，標本平均が5で，標本分散が4であった． 母集団平均μの95％信頼区間を求めよ．

解答：

分散σ²が未知のときの，母集団平均μの95％信頼区間は，大きさnの標本の 標本平均をx^-，標本標準偏差をsとすると，
t ＝ √n( x^- − μ )/s は自由度n−1のt分布 に従う．自由度8のt分布の97.5パーセント点が，2.31であるので，信頼区間は，
x^- − 2.31×s/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 2.31×s/ √n
である．2.31×s/ √n＝2.31×2/√9＝1.54．よって，5±1.54． よって，3.46＜μ＜6.54

　

問題３

平均2.5，分散25の正規分布からの標本が0より大きくなる確率はどれくらいであるか．

解答：

x＝0を標準化すると，z＝(x−μ）/σ＝（0−2.5）/5＝-0.5．
標本xが0より 大きくなる確率は，標準正規分布で-0.5より大きくなる確率． 標準正規分布表より，0.5より小さい確率が0.309なので，0.5より大きい確率は，0.691，約70％である．

　

問題４

平均 2.5，分散 25 の正規分布する母集団(ぼしゅうだん)から大きさ 16 の標本を抽出したとき， 標本平均が 0 より大きくなる確率はどれくらいであるか．

解答：

標本平均x^-を標準化すると，
z＝√n( x^- − μ )/σ＝√16（0−2.5）/5＝-2．
これより，標本平均x^-が 0 より大きくなる確率は，z が -2 より大きくなる 確率である．標準正規分布表より，z が -2 より小さくなる確率が0.023なので， 求める確率は，0.977．約97.5％である．

6/28：予備テスト

問題１

標準偏差が 3 の正規分布から大きさ 16 の標本を抽出したら，標本平均が 8.4 であった． 母集団平均 μ の 99％信頼区間は何か．

解答：

分散σ²がわかっているときの，母集団平均μの99％信頼区間は，標準正規分布の99.5％ 分位点2.58を用いて，
x^- − 2.58×σ/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 2.58×σ/ √n
である．2.58×σ/√n＝2.58×3/√16＝1.94．これより，8.4±1.94，よって，6.46＜μ＜10.34．

　

問題２

問題１の状況で，帰無仮説 H₀ ：μ＝10，対立仮説 H₁ ：μ≠10を行った．結果はどれか．

解答：

標本平均 x^- を標準化した z の絶対値は，
|z|＝√n| x^- − μ |/σ＝√16×|8.4−10|/3＝4×1.6/3＝2.13
である．この値は，標準正規分布の97.5％点（両側５％）の1.96よりは大きく，99.5％点（両側 1 ％）の 2.58よりは小さい．つまり，5 ％有意であるが，1 ％有意でない．帰無仮説は有意水準 5 ％で棄却される．

　

問題３

問題１の状況で，帰無仮説 H₀ ：μ＝10，片側対立仮説 H₁ ：μ＜10を行った．結果はどれか．

解答：

片側検定なので，標準正規分布の 95％点の 1.64 と 99％点の 2.33 を用いる．z の2.13は，1.64 よりは大きく， 2.33よりは小さい．つまり，5 ％有意であるが，1 ％有意でない．帰無仮説は有意水準 5 ％で棄却される．

7/13：予備テスト

問題１

標準偏差が 2 の正規分布から大きさ 9 の標本を抽出したら，標本平均が 7 であった．母集団平均 μ の 95％信頼区間は何か．

解答：

分散 σ² がわかっているときの，母集団平均 μ の 95％信頼区間は，
x^- − 1.96×σ/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 1.96×σ/ √n
であるので，1.96×σ/√n＝1.96×2/√9＝1.31．これより，7±1.31，よって，5.69＜μ＜8.31．

　

問題２

正規母集団から大きさ 9 の標本を抽出したら，標本平均が 7 で，標本標準偏差が 2 であった． 母集団平均 μ の 95％信頼区間を求めよ．

解答：

分散 σ² が未知のときの，母集団平均 μ の 95％信頼区間は，大きさ n の標本の 標本平均を x^-，標本標準偏差を s とすると，
t ＝ √n( x^- − μ )/s は自由度 n−1 の t 分布 に従う．自由度 8 の t 分布の 97.5パーセント点が，2.31 であるので，信頼区間は，
x^- − 2.31×s/ √n ＜ μ ＜ x^- ＋ 2.31×s/ √n
である．2.31×s/ √n＝2.31×2/√9＝1.54．よって，7±1.54． よって，5.46＜μ＜8.54

　

問題３

集団 A と集団 B の母平均 μ_A と μ_B の違いをみるため，大きさ 10 の標本をそれぞれ抽出した.
集団 A では標本平均が 100，標本標準偏差が 3 であり，集団 B では標本平均が 106，標本標準偏差が 4 であった． 集団 A，B とも共通の分散をもつとすると，共通の標準偏差の推定値はどれか．

解答：

共通の分散の推定値 s² は，標本の大きさがともに等しいときに（は，
s²＝（s_A²＋ s_B²）/2 ＝（3²＋4²)/2＝25/2，
よって，s＝√（25/2）＝5/√2＝3.54

　

問題４

問題３の状況で，帰無仮説 H₀ ：μ_A＝μ_B， 対立仮説 H₁ ：μ_A≠μ_B を行った．結果はどうか．

解答：

帰無仮説のもとでは，標本平均の差 x^-_A−x^-_B は，
x^-_A−x^-_B 〜 N（0，2σ²/n）
と分布する．これより平均の差x^-_A−x^-_Bを標準化して，標準偏差σを 標本標準偏差 s で置き換えた t 値は，帰無仮説のもとで，自由度 18 の t 分布に従う．
検定統計量は t 値の絶対値 |t| で，
|t|＝√(n/2）|x^-_A−x^-_B|/s＝ √5|100−106|/3.54＝3.79，
である．この値は自由度 18 の t 分布の 99.5％点（両側１％）の 2.88 より大きいので，1 ％有意である． 帰無仮説は有意水準 1 ％で棄却され，集団 A と集団 B の平均は有意に異なると言える．