2011.5.09

携帯解答サイト： http://lbm.ab.a.u-tokyo.ac.jp/~omori/k/

4-3．データのちらばりの程度を表す統計量

いま，２つの重量データ，X = (5, 6, 8, 9)kg と Y = (12, 4, 10, 2)kg があったとする．X の標本平均 \bar{X} と Y の標本平均　\bar{Y} を計算してみると，

\bar{X} =\frac{1}{4}(5+6+8+9)=\frac{28}{4} = 7{\rm kg}, \ \bar{Y} = \frac{1}{4}(12+4+10+2)=\frac{28}{4}=7{\rm kg} 

となりどちらも同じである．X と Y の違いをみると，X の方が Y よりもデータが平均値 7 に近い値をとっている，つまり，X の方が Y より個々のデータがより近い値を取っていることがわかる．これを表現する概念としてデータのちらばりがある．X の方が Y よりちらばりが小さい．これを表す値として分散や標準偏差がある．

標本分散： s2

s^2 = \frac{1}{n-1} \{ (x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 -\bar{x})^2 + \cdots + (x_n-\bar{x})^2 \} = \frac{1}{n-1} \sum_i(x_i-\bar{x})^2

n - 1：標本分散の自由度．データ数は　n で，データ全体では n の自由度（値が自由に変われるデータの個数）を持つが，標本分散を計算するときに標本平均 \bar{x} が固定されるので，自由度が 1 つ減って n - 1 となった．

（標本）標準偏差（SD, Standard Deviation）： s，

標本分散の平方根．平均と同じ単位で，データのちらばりの程度を表す．
重量データ X kg の分散と標準偏差を求めてみよう．
標本分散：

s^2_X = \frac{1}{4-1}\{(5-7)^2 + (6-7)^2 + (8-7)^2 +(9-7)^2 \} = \frac{1}{3}\{(-2)^2 +(-1)^2 +1^2 +2^2 \}= \frac{1}{3}(4+1+1+4)=\frac{10}{3}=3.33 \ {\rm kg}^2 

標本標準偏差：{\rm SD}_X = s_X = \sqrt{10/3} = 1.83 \ {\rm kg}
標本分散 s2 はデータの２乗を計算するので 3.33 kg2 と単位も kg の２乗となり標本平均と直接計算することはできないが，標準偏差 SD は 1.83 kg と標本平均 7 kg と 同じ単位をもつので直接計算することができる．すなわち，データの多くの部分が含まれる範囲を，

標本平均 ± 標準偏差= \bar{X} \pm {\rm SD}_X = 7 \pm 1.83 kg

と表すことができる．
　ところで，標本分散は以下のように表でまとめると計算しやすい（と思う）．

X の分散（平均 7）
データ     5       6       8       9   平方和  
偏差 -2 -1 1 2  
偏差平方 4 1 1 4 10
標本分散：s2X = 10/3 = 3.33
標準偏差：SDX = \sqrt{3.33} = 1.83
       
Y の分散（平均 7）
データ     12       4       10       2   平方和  
偏差 5 -3 3 -5  
偏差平方 25 9 9 25 68
標本分散：s2Y = 68/3 = 22.7
標準偏差：SDY = \sqrt{22.7} = 4.76

これより，

\bar{X} \pm {\rm SD}_X = 7 \pm 1.83 = 5.17 \sim 8.83 {\rm kg} \\ \bar{Y} \pm {\rm SD}_Y = 7 \pm 4.76 = 2.24 \sim 11.76 {\rm kg}
となり，X より Y の方が値の範囲が広いことが標準偏差の値で示される．
Copyright (C) 2010, Hiroshi Omori. 最終更新：2011年 5月08日