統計学の基礎(6.13)

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母集団とは日本全国の大学生の集合の英語の実力など，ある特性を調べたい集団全体を表す．

いま，正規分布 N(μ，σ²) に従う母集団を考える．すなわち，母平均が μ であり，母分散が σ² である．

母平均などの母数を調べるため母集団から大きさ n の無作為標本（ランダムサンプル） x₁，x₂，…，x_n を抽出したとする．

個々のサンプル x_i はそれぞれ平均 μ 分散 σ² の正規分布に従っている．これを，x_i ～ N(μ，σ²)，と表記する．

このとき，標本平均

$\bar{x} = \frac{1}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) = \frac{1}{n} \sum_i x_i$

が従う分布を考える．

まず，n = 2 のときから考えてみる．2 つのサンプルの標本平均を

$\bar{x}_2 = \frac{1}{2}(x_1 +x_2)$

と表すことにする．

x₁ の平均が μ，分散が σ² なので，これを E[x₁] = μ，Var[x₁] = σ²，と表記する．

同様に，x₂ の平均も μ，分散も σ² なので，これも E[x₂] = μ，Var[x₂] = σ²，と表記する．

すると，x₁+ x₂ の平均と分散はそれぞれ，

E[x₁+ x₂] = E[x₁] + E[x₂] = 2μ，Var[x₁ + x₂] = Var[x₁] + Var[x₂] = 2σ²

となる．よって， $\bar{x}_2 = \frac{1}{2}(x_1 +x_2)$ の平均は，

${\rm E}[\bar{x}_2] = {\rm E}[\frac{1}{2}(x_1 +x_2)] = \frac{1}{2}{\rm E}[x_1 +x_2]=\frac{1}{2} \cdot 2\mu=\mu$

となる．分散は，2 乗の平均なので外に出すときは係数は 2 乗して，

${\rm Var}[\bar{x}_2] = {\rm Var}[\frac{1}{2}(x_1 +x_2)] = \frac{1}{2^2}{\rm Var}[x_1 +x_2]=\frac{1}{4} \cdot 2\sigma^2=\frac{\sigma^2}{2}$

となる．同様に考えると，n 個のサンプルの標本平均 $\bar{x}=\bar{x}_n$ の平均と分散は，それぞれ，

${\rm E}[\bar{x}] = \mu, \ {\rm Var}[\bar{x}] =\frac{\sigma^2}{n}$

となることがわかる．すなわち，標本平均 $\bar{x}$ が従う分布は，

$\bar{x} \sim N\bigl(\mu, \ \frac{\sigma^2}{n} \bigr)$

となる．

正規分布からの標本平均の分布

平均 μ = 50，分散 σ² = 100（標準偏差 σ = 10）の正規分布から大きさ n = 20 の標本を抽出．

上の表のようにサンプルを多数回抽出したとすると，サンプルごとに標本平均が得られるので，標本平均の分布を考えることができる．
標本平均の分布の平均は，μ = 50，分散は，σ²/n = 100/20 = 5（標準偏差 = √5 = 2.236）の正規分布になる．つまり，

$\bar{x}$ ～ N(50, 5)，

である．

例題 N(50, 100) から大きさ 20 の標本を抽出した．52.24 以上の標本平均が得られる確率は．: 解答例標本平均は， $\bar{x}$ ～ N(50, 5) と分布する．標準化の式より，

(値 - 平均)/標準偏差 = (52.24 - 50)/2.24 = 1

これより標準正規分布で z ＞ 1，となる確率を求める．すなわち，

Pr[z ＞ 1] = 1 - Pr[z ＜ 1] = 1 - 0.841 = 0.159
問題：標本平均の分布: 平均 30 標準偏差 8 の正規分布から大きさ 25 の標本を抽出した．
以下の問に小数第１位までで答えよ．解答は数値解答テスト２で送信(半角数字) すること．

第19問：標本平均の標準偏差（標準誤差）
第20問：標本平均が 27.38 以下になる確率