2011.07.04

６．仮説検定

6-1．帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）

統計的仮説

統計学で扱う仮説とは，母集団に対する断定や推測．たとえば，

などである．

統計的仮説検定で用いられる仮説は，まず，帰無仮説という形式で与えられる．
帰無仮説は棄却されることに意味がある仮説である．
帰無仮説と反対の仮説を対立仮説という．

上の3番目の例でみると，

帰無仮説： 母集団 A と母集団 B の平均は等しい． （H0： μA ＝ μB）
対立仮説： 母集団 A と母集団 B の平均は等しくない． （H1： μA ≠ μB）

母集団 A と母集団 B は異なる処理（薬の投与など）をしているので，実験の目的 は，母集団 A と母集団 B の平均は異なる（処理効果がある）ことを言いたい （対立仮説が正しいことを望む）のだが，まずは 「等しい（処理効果無し）」と仮定してみようという考え方．

6-2．検定

検定統計量

　標本から算出される量で，検定に用いられるもので，z 値，t 値，χ2 値 （後で定義する）などがある． この値から帰無仮説を受託（採択）するか 棄却（対立仮説の採択）するかを判定する．

有意水準

　統計的仮説検定では，たとえば２つの母集団平均が等しいという帰無仮説を考えると， この帰無仮説のもとで，検定統計量（標本平均の差に基づく t 値など）以上 （もしくは未満）の値が得られる確率を求める．
くだけた言い方をすれば，帰無仮説が正しいとしたときに，標本のようなデータが得られる確率 を求める．
　これが十分小さい（ほとんどありえない）ときは，平均が等しいと仮定したことが誤りであったと判断して 帰無仮説を棄却し，２つの母集団平均には差があると結論づける．
この確率がそれほど小さく ない場合は，このような統計量が得られることもありえると考え，帰無仮説を採択し，平均が等しいと考え てもよいとする．
棄却か採択かの判断の基準となる確率を有意水準といい， 5 % や 1 % がよく用いられる．

例題
通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100g，標準偏差 10g であることが知られて いるとする．新方式 A による飼育方法を 25 羽で試したところ，平均成長量が 105g となった．新方式 でも標準偏差は変わらないものとして，新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか 検定せよ．ただし，以下の標準正規分布の分位点（パーセント点）を用いよ．

検定に用いられる標準正規分布の
分位（パーセント）点
　確率　   　0.95   　0.975   　0.99   　0.995
　分位点　   　1.64   　1.96   　2.33   　2.58

解答例
新方式による成長量の母集団平均を μ とおき，通常の飼育方式の成長量の 母集団平均を μ0 ＝ 100 とおく．題意より，新方式での成長量の標準 偏差は，通常の飼育方式と等しい σ ＝ 10 とみなせる．
この問題での帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）は，
H0：μ ＝ μ0
H1：μ ≠ μ0
と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した z 値の絶対値 である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本平均  \bar{x} ＝ 105より，
|z| =\frac{\sqrt{n} |\bar{x} - \mu_0 |}{\sigma}=\frac{5|105-100|}{10}=2.5
である．新方式の標本平均の標準化値の絶対値 |z | ＝ 2.5 は，両側 5 ％点（片側 2.5 ％点） の 1.96 よりは 大きく，両側 1 ％点（片側 0.5 ％点）の 2.58 よりは小さい．
よって，新方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に異なると言えるが，1 ％水準 では有意でない．つまり，5 ％有意である．
検定の結論の書き方

片側検定と両側検定

実験状況によっては，薬投与などの処理を行った集団（処理群）平均 μA が，薬を投与しない 集団（対照群）の平均 μB より小さくなることはないことが事前に わかっているような場合が ある．このようなとき，

帰無仮説，H0： μA ＝ μB
対立仮説，H1： μA ＞ μB
となる．これは，事前情報より，μA ＜ μB となる可能性 をまったく考えない場合である．
このため検定には，片側 5 ％点や 1 ％点を用いる．

例題
通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100g，標準偏差 10g であることが知られて いるとする．改良方式 B による飼育方法を25羽で試したところ，平均成長量が 103.5g となった． 改良方式は，通常方式より成長量が減少することがないことが知られている． 改良方式での標準偏差は変わらないものとして，改良方式 B は通常の飼育方式と 成長量が有意に増大したか 検定せよ．ただし，例題の標準正規分布の分位点（パーセント点）を用いよ．
解答例
改良方式による成長量の母集団平均を μ' とおき，通常方式の成長量の 母集団平均を μ0 ＝100とおく．題意より，改良方式での成長量の標準 偏差は，通常の飼育方式と等しい σ ＝ 10 とみなせ，また， 改良方式平均 μ' は通常方式平均 μ0 より 下回ることは想定されない．よって，対立仮説は片側となり， この問題での帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）は，
H0：μ' ＝ μ0
H1：μ' ＞ μ0
と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した z 値 である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本平均 \bar{x} ＝ 103.5より，
 |z| =\frac{\sqrt{n} |\bar{x} - \mu_0 |}{\sigma}=\frac{5|103.5-100|}{10}=1.75
である．片側検定なので，片側パーセント点を用いる． 改良方式の標本平均の標準化値 z ＝ 1.75 は，片側 5 ％点の 1.64 よりは 大きく，片側 1 ％点の 2.33 よりは小さい．
よって，改良方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に増大したと言えるが，1 ％水準 では有意でない．
両側検定であれば，5 ％水準でも有意にならなかったことに注意．つまり，改良方式と通常方式 の間には有意な差はみとめられなかった，という結論になった．片側検定の方が有意な結果 が出やすい．

両側検定と信頼区間

母集団平均に対する両側検定は，母集団平均に対する信頼区間と大きな関係がある． いま，帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）が，

H0：μ ＝ μ0
H1：μ ≠ μ0
であり，母分散 σ2 が既知のときを考える．
標本の大きさが n で，標本平均が  \bar{x} であったとすると，

個々の標本 xi は，平均 μ，分散 σ2 の正規分布に従う． → xi ～ N(μ， σ2 )
標本平均 \bar{x}  は，平均 μ，分散 σ2/n の正規分布に従う．→   \bar{x} \sim {\rm N}(\mu, \frac{\sigma^2}{n})
これを標準化した z は，標準正規分布に従う．→ z = \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}(\bar{x} - \mu)}{\sigma} \sim {\rm N}(0, 1)
母平均 μ に対する 95％信頼区間は， 
{\rm Pr} \Bigl[ -1.96 < \frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)}{\sigma} < 1.96 \Bigr] = 0.95 
{\rm Pr} \bigl[ \bar{x} - 1.96 \cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + 1.96 \cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \Bigr] 
となる．
一方，この検定の検定統計量は，標本平均の標準化値の絶対値
|z| =\frac{\sqrt{n} |\bar{x} - \mu_0 |}{\sigma}
で，有意水準 5 ％で帰無仮説を受諾するのは，検定統計量 |z| が両側 5 ％点である 1.96 以下のときである．つまり，
帰無仮説を受諾 ⇔ -1.96 < \frac{\sqrt{n}(\bar{x}-\mu)}{\sigma}} <1.96
である．この両者の関係より，
帰無仮説を受諾 ⇔ 母平均の信頼区間に μ0 が含まれる．
帰無仮説を棄却 ⇔ 母平均の信頼区間に μ0 が含まれない．
 が成り立つ
Copyright (C) 2008, Hiroshi Omori. 最終更新：2011年 7月 3日