2011.11.28

10-5. 2 つの母集団平均に対する t 検定（サンプルサイズが等しいとき）

母集団 A と B からそれぞれ大きさ n の標本を抽出した． 母集団 A からの標本の標本平均が x^-_A， 標本分散が s_A² であり，母集団 B の 標本平均が x^-_B， 標本分散が s_B² であった．母集団 A，B が共通の 分散 σ² をもつとすると，その推定値 s² は 以下のように推定できる．

母集団 A からの標本の偏差平方和：	SA＝（n - 1）sA2
母集団 B からの標本の偏差平方和：	SB＝（n - 1）sB2
母集団 A，B 全体での偏差平方和：	S ＝ SA ＋ SB ＝（n - 1）sA2＋ （n - 1）sB2
母集団 A，B 共通の標本分散：

帰無仮説（H₀： μ_A ＝ μ_B）のもとでは，μ_A−μ_B＝0，なので， 標本平均の差は，

例題

　あるダイエット食品の効果を調べるため，ダイエット食品の摂取群10名と通常食事群10名に 被験者をランダムに分けて，3ヶ月間実験を行った．３ヶ月での体重減少量は， ダイエット食摂取群（Ｄ群）で平均2.3kg，標準偏差2.0kgであり，通常食事群（N群）で平均0.5kg， 標準偏差1.2kgであった．ダイエット食品には効果が認められるかの検定を上の表の数値を用いて行う．
　Ｄ群とＮ群では，標準偏差にそれほど違いがあるとは思われなかったので， Ｄ群とＮ群は共通の標準偏差σを持つと仮定した．

解答例

ダイエット食摂取群（Ｄ群）の体重減少量の母集団平均を μ_D とおき， 通常食事群（N群）の体重減少量の 母集団平均を μ_N とおく．
この問題での帰無仮説（H₀）と対立仮説（H₁）は，

H₀： μ_D ＝ μ_N
H₁：μ_D ≠ μ_N

と定式化される．以下の表を埋めて解答する．

10-6. 2 つの母集団平均に対する t 検定（サンプルサイズが異なる場合）

２つの母集団 A，B があり，それぞれが平均を μ_A，μ_B， 分散を σ_A²，σ_B² の正規分布に従って いるが，その値は未知であるとする．いま，両集団の分散の値が等しく， σ_A²＝σ_B²＝σ²，と仮定 できるとしよう．このとき，

　母集団 A から大きさ n_A，母集団 B から大きさ n_B の標本を抽出した． 母集団 A からの標本の標本平均が x^-_A， 標本分散が s_A² であり，母集団 B の 標本平均が x^-_B， 標本分散が s_B² であった．母集団 A，B が共通の 分散 σ² をもつとすると，その推定値 s² は 以下のように推定できる．

母集団 A からの標本の偏差平方和：	SA＝（nA−1）sA2
母集団 B からの標本の偏差平方和：	SB＝（nB−1）sB2
母集団 A，B 全体での偏差平方和：	S ＝ SA ＋ SB ＝（nA−1）sA2＋ （nB−1）sB2
母集団 A，B 共通の標本分散：

帰無仮説（H₀： μ_A ＝ μ_B）のもとでは，μ_A−μ_B＝0，なので， 標本平均の差は，

例題

通常の飼育方式と新方式 A による飼育方法で，鶏の１ヶ月の成長量に差があるか 調べたい．通常の飼育方式で20羽を飼育したところ，平均成長量が100g，標本標準偏差 が9gであった．また，新方式 A による飼育方法を 25 羽で行ったところ，平均成長量が 105g であり， 標本標準偏差が 11g であった．新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか 両集団の分散は等しいと仮定して検定せよ． ただし，自由度 43 の t 分布の 97.5％パーセント点は 2.02 であり， 99.5％点は 2.70 である．

解答例

新方式による成長量の母集団平均を μ_A とおき，通常の飼育方式の成長量の 母集団平均を μ_B とおく．
この問題での帰無仮説（H₀）と対立仮説（H₁）は，

H₀： μ_A ＝ μ_B
H₁：μ_A ≠ μ_B

と定式化される．以下の表を埋めて解答する．