manova model

多変量分散分析モデル 　(他の形質の変動はどうか:多変量分散分析)

　形質 h の 4 年次にわたるデータは，先ほどの収量データと同様に，

X^h_ijkl = μ^h + α^h_i + β^h_j + γ^h_k + (αβ)^h_ij + (βγ)^h_jk + (αγ)^h_ik + (αβγ)^h_ijk + ε^h_ijkl

と書ける．α^h_i が密度効果， β^h_j が施肥量効果，γ^h_k が年次効果， ε^h_ijkl が誤差である．ここで， ε_ijkl = (ε¹_ijkl, …, ε^p_ijkl)' を誤差ベクトルとすると，これは互いに独立に， ε_ijkl ～ N(0, Σ_ε)，つまり，平均 0，分散共分散行列 Σ_ε の多変量正規分布(multivariate normal distribution)に従うことを仮定する．

　1 変量分散分析では，形質 h に対して平方和が各処理ごとに

S^h_T = S^h_α + S^h_β + S^h_γ + S^h_αβ + … + S^h_ε

と分解され，各処理効果はおのおのの自由度でわった平均平方を誤差平均平方（MS^h_ε）で割った F 値を検定統計量とした．たとえば，栽植密度効果（α）の検定では，

F_α = MS^h_α /MS^h_ε

を用い，F 検定を行った．

　多変量分散分析のモデルは，p 変量の偏差積和行列 T が各処理ごとに，

T = H_α + H_β + H_γ + H_αβ + … + E

と分解される．H を仮説行列，E を誤差行列という．仮説行列や誤差行列の対角成分には各変量ごとの平方和の値が入り，非対角成分には変量の組の共分散の値が入る．つまり，変量間の相関が各処理効果ごとに分解される．
　各処理効果に対する検定統計量はいくつかのものがある．いま，栽植密度効果 (H_α) の検定を考えると，よく知られているのが，尤度比から得られる Wilks の Λ，

である．また，Roy の H_αE^-1 の最大固有値もよく用いられている．

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最終更新日：2004年 5月20日