2008.11.13

ピアソン χ² 独立性検定の復習

t 検定に用いる t 分布表

8-2．分散未知のときの母平均 μ の区間推定

例題

正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出したところ，標本平均が 1.5 で，標本分散が 9 であった．母集団平均 μ の 95％ 信頼区間を求めよ．

解答

t₀ s / √n ＝ 2.13×√9/√16 = 2.13×3/4 ＝ 1.60，
よって，1.5 ± 1.60，つまり， -0.1 ＜ μ ＜ 3.10 が母平均 μ の 95％ 信頼区間 となる．

注）母集団分散が σ² ＝ 9 とわかっていたとき （5.29号）と少し違うことに注意せよ．
このときの母集団平均 μ の 95％ 信頼区間は，

例題

過去の経験から分散が 9 であることがわかっている正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出 したところ，標本平均が 1.5 であった．標準正規分布の 97.5％ 分位点を 1.96 として，母平均 μ の 95％ 信頼区間を求めよ．

解答例

σ＝√9＝3，√n＝√16＝4，より，1.96×σ/ √n＝1.96×3/4＝1.47
よって，1.5 ± 1.47，つまり， 0.03 ＜ μ ＜ 2.97 が母平均 μ の 95％ 信頼区間 となる．

すなわち，分散が未知のとき（これが普通）は，分散の推定値である標本分散を用いるので， 推定誤差が伴う．この誤差を考慮した t 分布で信頼区間を構成するので，信頼区間が広くなり， 母平均の推定精度が悪くなる．

8-3. 母平均に対する t 検定

例題

通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100gであることが知られて いるとする．新方式 A による飼育方法を 25 羽で試したところ，平均成長量が 105g であり， 標本標準偏差が 10g であった．新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか 検定せよ．ただし，自由度 24 の t 分布の 97.5％パーセント点は 2.06 であり， 99.5％点は 2.80 である．

解答例

新方式による成長量の母集団平均を μ とおき，通常の飼育方式の成長量の 母集団平均を μ₀ ＝ 100 とおく．
この問題での帰無仮説（H₀）と対立仮説（H₁）は，

H₀：μ ＝ μ₀
H₁：μ ≠ μ₀

と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した t 値の絶対値 である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本 平均 x^- ＝ 105より，

|t | ＝ √n | x^- − μ₀ |/s ＝5|105−100|/10＝2.5

である．新方式の標本平均の標準化値の絶対値 |t | ＝ 2.5 は，両側 5 ％点（片側 2.5 ％点） の 2.06 よりは 大きく，両側 1 ％点（片側 0.5 ％点）の 2.80 よりは小さい．
よって，新方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に異なると言えるが，1 ％水準 では有意でない．つまり，5 ％有意である．