2011.10.31

10．t 検定

10-1. t 分布

定義

　標準正規分布に従う確率変数を z，(z ～ N(0,1))，
自由度 n の χ2 分布に従う 確率変数を V，(V ～ χ2(n))， とする．
両者が独立であるとすると，その比 t は，自由度 n の t 分布，t(n)，に従う．

分散未知のときの標本平均の分布

　正規母集団 N( μ，σ2 ) から大きさ n の 標本を取り出したとき，標本平均 x- を標準化したもの z は，
と標準正規分布に従う．
　母標準偏差 σ が未知であるときこれを標本標準偏差 s で置き換えた ものを t 値といい，自由度 n － 1 の t 分布に従う．
これは，標本分散の分布から
であるので，比を取ると，
となるからである．

t 検定に用いる t 分布表

標本分散の分布

　正規母集団で，母数が未知であるときを考える． 大きさ n の標本 x1，x2，…，xn を抽出したとき，母平均 μ と母分散 σ2 は，そえぞれ 標本平均 x- と標本分散 s2，
sampmv
で推定される． 　標本や標本平均は，
sampmv
と分布する．一方，
sampmv
と計算されるので，(n - 1)s2/σ2 という量は，
sampmv
と，自由度 n - 1 の χ2 分布，χ2(n - 1)，に従うことがわかる．

　自由度 n - 1 の χ2 分布の平均は n - 1 なので， (n - 1)s2/σ2 の平均（期待値）は，

E[ (n - 1)s2/σ2 ] = (n - 1)/σ2・E[ s2 ] = n - 1

となる．これより，標本分散 s2 の期待値は，E[ s2 ] = σ2 となる． このように，母（集団）分散の推定量の期待値（平均）が母集団分散 に等しくなる．このような性質を不偏という．母分散 σ2 として，偏差平方和 ∑(xi - x-)2 を n で割らずに n - 1 で割るのは，推定値 が不偏になるためである．このことを強調して，s2 を不偏分散と呼ぶこともある．

10-2．分散未知のときの母平均 μ の区間推定

正規母集団 N( μ，σ2 ) から大きさ n の 標本を取り出したとき，標本平均が x- で標本分散が s2 であるとすると，t 値は
のように自由度 n - 1 の t 分布に従う．
　自由度 n - 1 の t 分布の 97.5％分位点を t(n - 1)0.975 とすると， t 分布する確率変数 t が -t(n - 1)0.975 から t(n - 1)0.975 に入る 確率は 0.95 となる．つまり，
tCI
となる．最後の式を母分散未知のときの母集団平均 μ の 95％ 信頼区間と言う．

例題
正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出したところ，標本平均が 1.5 で，標本分散が 9 であった．母集団平均 μ の 95％ 信頼区間を求めよ．
解答
t0 s / √n ＝ 2.13×√9/√16 = 2.13×3/4 ＝ 1.60，
よって，1.5 ± 1.60，つまり， -0.1 ＜ μ ＜ 3.10 が母平均 μ の 95％ 信頼区間 となる．

注）母集団分散が σ2 ＝ 9 とわかっていたとき （6.27号）と少し違うことに注意せよ．
このときの母集団平均 μ の 95％ 信頼区間は，

Pr[ x- － 1.96×σ/ √n ＜ μ ＜ x- ＋ 1.96×σ/ √n　] ＝ 0.95，

である．このときの例題は，
例題
過去の経験から分散が 9 であることがわかっている正規母集団から大きさ 16 の標本を抽出 したところ，標本平均が 1.5 であった．標準正規分布の 97.5％ 分位点を 1.96 として，母平均 μ の 95％ 信頼区間を求めよ．
解答例
σ＝√9＝3，√n＝√16＝4，より，1.96×σ/ √n＝1.96×3/4＝1.47
よって，1.5 ± 1.47，つまり， 0.03 ＜ μ ＜ 2.97 が母平均 μ の 95％ 信頼区間 となる．

すなわち，分散が未知のとき（これが普通）は，分散の推定値である標本分散を用いるので， 推定誤差が伴う．この誤差を考慮した t 分布で信頼区間を構成するので，信頼区間が広くなり， 母平均の推定精度が悪くなる．

10-3. 母平均に対する t 検定

平均 μ，分散 σ2 がともに未知である正規母集団から 大きさ n の標本を抽出したところ， 標本平均が x-，標本分散が s2 であった．
帰無仮説 H0：μ ＝ μ0，
対立仮説 H1：μ ≠ μ0，
の検定は，帰無仮説のもとで，分散既知のときに標本平均を標準化して えられる z 値， z ＝ √n ( x- － μ0 )/σ の標準偏差のところに 標本標準偏差 s を代入した t 値は，
ttest
のように自由度 n－1 の t 分布に従うことを利用して検定できる．すなわち， この分布の97.5％分位点を t(n - 1)0.975 とすると， 有意水準 5 ％の検定は，
|t| > t(n - 1)0.975
のとき帰無仮説を棄却する．|t| が検定統計量で，この値を |t| 値という．
例題
通常の飼育方式では，鶏の１ヶ月の成長量が平均 100gであることが知られて いるとする．新方式 A による飼育方法を 25 羽で試したところ，平均成長量が 105g であり， 標本標準偏差が 10g であった．新方式 A は通常の飼育方式と成長量が有意に異なるか 検定せよ．ただし，自由度 24 の t 分布の 97.5％パーセント点は 2.06 であり， 99.5％点は 2.80 である．
解答例
新方式による成長量の母集団平均を μ とおき，通常の飼育方式の成長量の 母集団平均を μ0 ＝ 100 とおく．
この問題での帰無仮説（H0）と対立仮説（H1）は，
H0：μ ＝ μ0
H1：μ ≠ μ0
と定式化される．検定に用いる検定統計量は，標本平均を標準化した t 値の絶対値 である．
標本の大きさ n ＝ 25 の標本の標本 平均 x- ＝ 105より，
|t | ＝ √n | x- － μ0 |/s ＝5|105－100|/10＝2.5
である．新方式の標本平均の標準化値の絶対値 |t | ＝ 2.5 は，両側 5 ％点（片側 2.5 ％点） の 2.06 よりは 大きく，両側 1 ％点（片側 0.5 ％点）の 2.80 よりは小さい．
よって，新方式は通常方式と成長量は 5 ％水準で有意に異なると言えるが，1 ％水準 では有意でない．つまり，5 ％有意である．
Copyright (C) 2008, Hiroshi Omori. 最終更新：2011年10月31日